TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO ~ CALCULO UNIVERSITARIO

Medición aproximadas de figuras amorfas

La Aproximada de Figuras Amorfas

Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la fórmula produciría el resultado.

Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas para estima resta área.

integración puede ser utilizada fructífera mente en una situación semejante.

Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser evaluada.

Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b.

El gráfico de la función se muestra a continuación.

Para estimar el área de tal figura, considere el área bajo la curva está compuesto por un gran número de delgadas tiras verticales.Suponiendo que hay una tira arbitraria y para la altura y una dx para la anchura. El área de esta tira elemental sería, dA = y dx donde y = f(x)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada x = a y x = b y la curva y = f (x) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o la zona limitada.

reduce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.

2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación.

Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)

El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula,

A = dA = x dy = g(y) dy

3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.

Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración ,entonces

A = | f(x) dx|

4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encimadel eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,

A = |A1| + A2

Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,

Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x

La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,

El área de la región limitada es,

A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/3

NOTACIÓN SUMATORIA

La sumatoria o sumatorio es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumados.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ahora, veamos un ejemplo:
Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

SUMA DE RIEMAN

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.

EJEMPLO 2:

EJEMPLO 3:

LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida se representa por símbolo integral definida.

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

(dx) es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Teorema fundamental del cálculo F'(x) = f(x) El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

EJEMPLO 2

VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que