SERIES

SERIE.

Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Por ejemplo,

 1,4,9,16,25

Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie de llama sucesión infinita.

El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

SERIE INFINITA

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente teorema:

 Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un

Entonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

VIDEO / SERIES INFINITAS

SERIE FINITA

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

2, 4, 8, 16, 32, 64,....

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita



SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

Carácter de una serie.

Convergente: Cuando la suma es un número real.

Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.

Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

 





SERIE DE POTENCIAS

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma

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SERIE DE TAYLOR

Es una representación de una función como una infinita suma de términos.

Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE POTENCIA

CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS CON SERIES DE TAYLOR.

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL

ÁREAS

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

ÁREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCIÓN 

Si f es una función que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b], entonces la integral definida :

no representa el área bajo la gráfica de f sobre el intervalo.

El valor de:

Puede interpretarse como el área neta con signo entre la gráfica de f y el eje x sobre el intervalo [a,b].

Suponga que la función y = f(x) es continua sobre el intervalo [a,b] y que f (x) <0 sobre [a,c) y que f (x) >/ 0 sobre [c,b].

El área total es el área de la región acotada por las gráficas  de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b.

Para encontrar el área se emplea el valor absoluto de la función y= | f(x) |, que no es negativa para toda en x en [a,b].

ejemplo:

EJEMPLO:

EJEMPLO 2:



AREA ENTRE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES

La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas. El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.

CONTINUACIÓN . . . . . . .

LONGITUD DE CURVAS

La velocidad, la aceleración constante y muchos otros conceptos físicos y matemáticos se pueden despejar con la ayuda del área bajo sus respectivas curvas. El primer paso en la base del concepto de las integrales implica la formulación del área bajo el gráfico de una función.

CALCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN


Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana Alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un Triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un Rectángulo alrededor de uno de sus lados

Método del disco.

Si giramos una región del plano alrededor de un

Eje obtenemos un sólido de revolución. El

Volumen de este disco de radio R y de anchura

ω es:

Volumen del disco = R w

2 π

Para ver cómo usar el volumen del disco y para

Calcular el volumen de un sólido de revolución

General, se hacen n particiones en la gráfica.

CALCULO DE CENTROIDES

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se Ejemplo: Determinar el centroide de la figura mostrada.   unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes. Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional. Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.

Centroides por integración El centroide de un área limitada por curvas analíticas (curvas definidas Por ecuaciones algebraicas) por lo general se determina evaluando las Integrales. x A = x dA A y = y dA




EJEMPLOS 2:

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